小刻也能看懂的共形场论笔记(一)

What and Why

什么是共形场论?常见的谜语人会说共形场论是一种带有共形不变性的(量子)场论。可是具体来说,什么是场论?我们关心场论的哪些方面?为什么是共形不变性?

以上的这些疑问大多源于我们从来就没有一个公认的、很好的处理量子场论以及对称性的框架。听上去最时髦的框架无疑是 TQFT,但其对于我们关注的具体计算并无太大裨益。同时,我们也有一个更加古老的框架,源于 Wightman Axioms。尽管 Wightman Axioms 并不能很好地处理规范场论(以至于成为了一个千禧年难题),在简单的共形场论模型中,这样的思想依然是十分有帮助的。

在这系列笔记中,我将尝试整理、重述近年来对共形场论的公理化描述,并简略一提其如何与统计物理模型对应起来(最近有了可喜的进展)。具体来说,我们会将重心放在 scalar unitary Euclidean CFT 上,但原则上说这些结果是可以扩展到一般(当然不包括规范场和广义相对论)的模型的。此外,我将尝试尽可能地给出 motivation 与 precise statement 以便理解,毕竟小刻不太懂物理学家的谜语:(

什么叫共形?

考虑两个 semi-Riemannian (即不要求度规正定的 Riemannian)流形

什么叫场论?

Euclidean CFT Axioms

Slava Rychkov 给出的对 Euclidean CFT 的定义如下。

在背景空间 )下,一个 Euclidean CFT 包括的数据(data)有:

  • 一个集合 ,用于标记 primary local operators,如 ,

    • 我们固定 ,并将 称为 unit local operator,

    • 每个 primary local operator 生成许多 descendants,记作 中的混合偏导,

    • 方便起见,我们将所有的 local operators,即 primary local operators and their descendants 用集合 来标记。

  • 一族参数,称为 primary operator 的 scaling dimension。这族参数被称为 CFT 的谱(spectrum)。在二维情况下,我们知道存在连续谱的 CFT (如 Liouville CFT),但在三维或更高时,我们目前所知的 CFT 的谱都是离散的;

    • 我们固定 ,并要求 ,对

    • Unitary 条件要求

  • 一族解析函数(称作关联函数) ,其中 。对于其特定值,我们也形式化地记作 ;

    • 实质上,我们需要的数据只包括 ,对 。牵涉到 descendants 的关联函数由其对应的 primary operators 的关联函数决定。如 其中 表示对 对应的 个自变量混合求导。

这些数据满足以下公理(axioms):

  • (A0) Existence of Unit Operator

    存在一个 local operator,标记为,使得

    • ;
  • (A1) Locality

    考虑 的一个置换。则

    这一公理有时也被称为 symmetry。其被称为 locality 的原因来自于 Wightman QFT: 其中类似的性质被称为 microcausality。

  • (A2) Conformal Covariance

    考虑 。定义所谓缩放比例(scaling factor) 则我们有

  • (A3) Operator Product Expansion

    这是 CFT 之所以能精确求解的精华所在。我们要求存在展开

公理的直接推论

Polyakov 在上个世纪便意识到这些公理,尤其是共形不变性(亦称为关联函数的共形协变性)严格地限制了关联函数的表达式。

命题 对任意 ,

证明 注意到 对任意 成立。因此

类似的技巧被反复用于给出对关联函数的限制。注意我们可以确定两点、三点乃至四点函数的形式。

命题 对任意 ,